Question

(本題滿分12分)如圖，已知直平行六面體ABCD—ABCD中，AD⊥BD，AD=BD=a,E是CC的中點，A₁D⊥BE.

(1)求證：AD⊥平面BDE；(2)求二面角B—DE—C的大小；(3)求點B到平面ADE的距離.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

：（1）∵直平行六面體ABCD—ABCD中，AA⊥面ABCD，

又∵AD⊥BD,∴AD⊥BD,又AD⊥BE,∴AD⊥平面BDE.

(2)連BC，∵AB平行且等于CD，∴BC平行且等于AD.

∵AD⊥BE,∴BC⊥BE,∴∠BBC=∠CBE,

∴Rt△BBC∽Rt△CBE,∴.

∵CE=BB,BC=AD=a,

∴BB=BC=a,∴BB=a,

取CD中點M，連BM，∵CD=a,∴BM=.

過M作MN⊥DE于N，連BN.

∵平面CD⊥平面BD，BM⊥CD，∴BM⊥平面CD，∴BN⊥DE，

∴∠BNM就是二面角B—DE—C的平面角,

∵sin∠MDN=, DE==,

∴MN=.

在Rt△BMN中，tan∠BNM=, ∴∠BNM=arctan.

即二面角B—DE—C等于arctan.

(3)∵AD⊥平面BDE，BN平面BDE，∴AD⊥BN,又∵BN⊥DE,∴BN⊥平面ADE，即BN的長就是點B到平面ADE的距離.

∵BM=a,MN=,∴BN==,即點B到平面ADE的距離為.