Question

已知P（x₀，y₀）是函數f（x）=lnx圖象上一點，在點P處的切線l與x軸交于點B，過點P作x軸的垂線，垂足為A．
（1）求切線l的方程及點B的坐標；
（2）若x₀∈（0，1），求△PAB的面積S的最大值，并求此時x₀的值．

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=，…（2分）
∴過點P的切線方程為y-lnx₀=（x-x₀）
即切線方程為：y=x+lnx₀-1…（4分）
令y=0，得x=x₀-x₀lnx₀，
即點B的坐標為（x₀-x₀lnx₀，0）…（6分）
（2）AB=x₀-x₀lnx₀-x₀=-x₀lnx₀，PA=|f（x₀）|=-lnx₀，
∴S=AB•PA=x₀（lnx₀）²…（9分）
S′=ln²x₀+x₀2lnx₀•=lnx₀（lnx₀+2）…（11分）
由S′＜0得，＜x＜1，
∴x∈（0，）時，S單調遞增；x∈（，1）時S單調遞減；…（13分）
∴S_max=S（）=
∴當x₀=，面積S的最大值為．…（14分）
分析：（1）先求出導函數f'（x），然后利用點斜式寫出在點P處的切線方程，令y=0，求出x的值即可求出點B的坐標；
（2）先求出AB，PA的長，然后得到△PAB的面積S，然后利用導數研究面積函數在（0，1）上的單調性，從而求出函數的最值．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數在某點的切線方程，以及利用導數研究函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．