Question

對于函數f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+

π

3

，有如下四個命題：
①f（x）-g（x）的最大值為

2

；
②f[h（x）]在區間[-

π

2

，0]上是增函數；
③g[f（x）]是最小正周期為2π的周期函數；
④將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位可得g（x）的圖象．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：命題①，f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

），由之判斷即可；
命題②，f[h（x）]=sin（x+

π

3

），根據正弦函數的單調性判斷其在區間[-

π

2

，0]上的單調性即可；
命題③，代入驗證2π是否是其周期；
命題④，由相關的誘導公式進行判斷即可．

解答：解：命題①，f（x）-g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

），當sin（x+

π

4

）=1時，函數取到最大值

2

，故正確；
命題②，f[h（x）]=sin（x+

π

3

），x∈[-

π

2

，0]時，x+

π

3

∈[-

π

6

，

π

3

]，故f[h（x）]=sin（x+

π

3

）在x∈[-

π

2

，0]時是增函數，故正確；
命題③，由于g[f（x）]=cos（sinx），因為cos（sin（x+π））=cos（sinx）對x∈R都成立，故其是周期為π的周期函數，故不正確；
命題④，因為sin（x-

π

2

）=-cosx≠cosx，故將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位不能得到g（x）的圖象，故不正確．
故答案為   ①②

點評：本題考點較多，全面涉及到了三角函數的性質，考查了三角函數的單調性、周期性、以及圖象的平移規則，重點檢驗答題者對知識掌握理解的廣度．