Question

（本小題滿分14分）已知，函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，
（ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（ⅱ）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；
（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點與點的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，的取值范圍是；（2）見解析.

第一問中因為，所以，得到解析式，然后分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定即可
第二問中，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價轉(zhuǎn)化為
不等式在區(qū)間上有解，然后利用分離參數(shù)m的思想得到取值范圍
第三問中，因為的對稱中心為，
而可以由經(jīng)平移得到，
所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關(guān)于點對稱．然后加以證明即可。
解：（Ⅰ）（i）因為，所以，        ……………………1分
則， 而恒成立，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．      ……………………4分
（ii）不等式在區(qū)間上有解，
即 不等式在區(qū)間上有解，
即  不等式在區(qū)間上有解，
等價于不小于在區(qū)間上的最小值．         ……………………6分
因為時，，
所以的取值范圍是．                  ……………………9分
（Ⅱ）因為的對稱中心為，
而可以由經(jīng)平移得到，
所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關(guān)于點對稱．    ……………………10分
對猜想證明如下：
因為，
所以，
所以，的斜率分別為，．
又直線與平行，所以，即，
因為，
所以，，   ……………………12分
從而，
所以．
又由上 ，
所以點，（）關(guān)于點對稱．
故當(dāng)直線與平行時，點與點關(guān)于點對稱．        ……………………14分