Question

（2013•中山一模）函數f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的部分圖象如下圖所示，該圖象與y軸交于點F（0，1），與x軸交于點B，C，M為最高點，且三角形MBC的面積為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(α-

π

6

)=

2 5

5

，α∈(0，

π

2

)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）根據三角形MBC的面積為π求得BC的值，可得函數的周期，從而求得ω的值，再把點（0，1）代入求得φ的值，從而得到函數的解析式．
（Ⅱ）由f(α-

π

6

)=2sinα=

2 5

5

，得sinα=

5

5

，再利用同角三角函數的基本關系求得cosα的值，利用二倍角公式、兩角和差的余弦公式求得cos(2α+

π

4

)的值．

解答：解：（I）∵S△MBC=

1

2

×2×BC=BC=π，∴周期T=2π=

2π

ω

，ω=1．
由f（0）=2sinφ=1，得sinφ=

1

2

，又∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

，
∴f(x)=2sin(x+

π

6

)．
（Ⅱ）由f(α-

π

6

)=2sinα=

2 5

5

，得sinα=

5

5

．
∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，
∴cos2α=2cos2α-1=

3

5

，sin2α=2sinαcosα=

4

5

，
∴cos(2α+

π

4

)=cos2αcos

π

4

-sin2αsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，同角三角函數的基本關系以及二倍角公式的應用，屬于中檔題．