Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n是a_n與1的等差中項，則a_n等于（　　）

• A、1
• B、-1
• C、（-1）ⁿ
• D、（-1）^n-1

Answer 1

分析：由已知條件可知前n項和s_n與通項a_n之間的關系式2s_n=1+a_n，為求a_n，需考慮使用公式a_n=s_n-s_n-1，從而s_n與s_n-1之間的關系轉化為a_n與a_n-1之間的遞推關系，進而求解．

解答：解：由題意可知2s_n=1+a_n，
∴s_n=

1+an

2

，
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=

1+an

2

-

1+an-1

2

=

1

2

a_n-

1

2

a_n-1，
整理得

an

an-1

=-1，
又2s₁=1+a₁，∴a₁=1，
故數列{a_n}為首項為1，公比為-1的等比數列，
∴an=（-1）^n-1．
故選D．

點評：由s_n求a_n的問題可由關系式a_n=

s1(n=1) sn-sn-1(n≥2)

而得．若a₁滿足s_n-s_n-1的形式，則用統一的形式表達a_n；若a₁不滿足s_n-s_n-1的形式，則用分段的形式表達a_n．