Question

8、已知f（x）是偶函數，x∈R，若將f（x）的圖象向右平移一個單位又得到一個奇函數，若f（2）=-1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=（　�。�

A、-1003

B、1003

C、1

D、-1

Answer 1

分析：根據將f（x）的圖象向右平移一個單位得到一個奇函數，即f（x-1）是奇函數，跟據f（x）是偶函數，得到f（（x-1）+4）=f（x-1），求出函數f（x）周期為4，要求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）的值，即要求501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）的值，而由函數f（x）是R上的0偶函數，以及f（x-1）是奇函數，令x=0，1可求得（1）、f（0）、f（3）的值．從而求得結論．

解答：解：∵將f（x）的圖象向右平移一個單位得到一個奇函數，
即f（x-1）是奇函數，∴f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函數，∴f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1））=-f（x-1），
∴f（（x-1）+4）=-f（（x-1）+2）=f（x-1），可得f（x+4）=f（x），
∴函數f（x）的周期為4，
∵平移前f（x）是偶函數，f（x-1）是奇函數，x∈R，∴f（-1）=f（1）=f（3）=0，
f（0）=-f（-2）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=-1，
故選D．

點評：此題是個中檔題．考查函數的周期性和奇偶性，是道綜合題，其中探討函數的周期性是難點．