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有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的兩側，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為3a元和5a元，問供水站C建在何處才能使水管費用最省？
據題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，
設C點距D點xkm，如圖所示，則BD=40，AC=50-x，
∴BC=
BD2+CD2
=
402+x2
又設總的水管費用為y元，
由題意得y=3a（50-x）+5a
x2+402
（0＜x＜50），
y′=-3a+
5ax
x2+402
令y′=0解得x=30．
在（0，50）上，y只有一個極值點，
根據實際意義，函數在x=30（km）處取得最小值，
此時AC=50-x=20（km），
答：供水站C建立在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

某廠生產產品x件的總成本c（x）=
1
12
x3（萬元），已知產品單價P（萬元）與產品件數x滿足：P2=
k
x
，生產1件這樣的產品單價為16萬元．
（1）設產量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產量x定為多少件時總利潤L（x）（萬元）最大？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知一塊半徑為r的殘缺的半圓形材料ABC，O為半圓的圓心，OC=
1
2
r，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側．現要在這塊材料上截出一個直角三角形，有兩種設計方案：如圖甲，以BC為斜邊；如圖乙，直角頂點E在線段OC上，且另一個頂點D在
AB
上．要使截出的直角三角形的面積最大，應該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在x∈[-
1
2
，1)上的最大值為
3
8
，求實數b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設F(x)=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，對任意給定的正實數a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=alnx+x2（a為實常數）．
（1）當a=-4時，求函數f（x）在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數．
（3）若a＞0，且對任意的x1，x2∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|
1
x1
-
1
x2
|，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若a1x≤sinx≤a2x對任意的x∈[0，
π
2
]都成立，則a2-a1的最小值為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=x2+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數f(x)=x2+
2
x
，g(x)=(
1
2
)x+m，若?x1∈[1，2]，?x2∈[-1，1]，使得f（x1）≥g（x2），則實數m的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若，則的大小關系為（   ）
A．B．C．D．

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