Question

如圖正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連結AC交BD于O點，連結OM，可得OM是△PAC的中位線，可得PA∥OM，利用線面平行判定定理，即可證出PA∥平面MBD；
（2）取AB的中點N，連結PN、CN，正方形ABCD中利用三角形全等，證出CN⊥BQ．利用面面垂直的性質定理，證出等邊△PAD的高PQ⊥底面ABCD，從而得出CN⊥PQ，根據線面垂直的判定證出CN⊥平面PQB，從而得到平面PCN⊥平面PQB．由此可得在線段AB上存在AB的中點N，使得平面PCN⊥平面PQB．

解答：解：（1）連結AC交BD于O點，連結OM
∵四邊形ABCD為正方形，∴O為AC的中點
因此OM是△PAC的中位線，可得PA∥OM
∵PA?平面MBD，OM?平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
（2）取AB的中點N，連結PN、CN
∵正方形ABCD中，Q、N分別為AD、AB的中點
∴Rt△ABQ≌△BCN，可得CN⊥BQ
∵等邊△PAD中，Q是AD中點，∴PQ⊥AD
∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
∵CN?底面ABCD，∴CN⊥PQ
∵BQ、PQ是平面PQB內的相交直線，∴CN⊥平面PQB
∵CN?平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB
即在線段AB上存在AB的中點N，使得平面PCN⊥平面PQB．

點評：本題在四棱錐中證明線面平行、并探索面面垂直的存在性．著重考查了線面垂直的判定與性質、面面垂直的判定與性質和線面平行判定定理等知識，屬于中檔題．