Question

已知函數．（I）當時，求函數的單調區間；（II）若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為45^o，問：m在什么范圍取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值？

Answer 1

（1）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減． （2）

本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。通過a的值可知，函數解析式，求解導數，然后令導數大于零和導數小于零，得到單調區間。并利用導數的幾何意義得到切線的斜率等的運用。、
（1）直接求解導數，然后解導數的不等式得到單調增減區間。
（2）利用對于任意的，函數y=g(x)在區間上總存在極值，轉化為
在x=2,x=3處的導數值分別為小于零和大于零得到參數m的取值范圍。
解：   
（I）當時，，        …………………………………2分
令時，解得，所以在（0，1）上單調遞增； ……4分
令時，解得，所以在（1，+∞）上單調遞減． ………6分
（II）因為函數的圖象在點（2，）處的切線的傾斜角為45^o，
所以．
所以，． ………………………………………………8分
 ，
，     ……………………………………………10分
因為任意的，函數在區間上總存在極值，
所以只需      ……………………………………………………12分
解得．