Question

已知函數f（x）=x²-4x+3
（1）當x∈[-1，3]時，求函數f（x）的值域；
（2）若關于x的方程|f（x）|-a=0有三個不相等的實數根，求實數a的值；
（3）已知t＞0，求函數f（x）在區間[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，它的對稱軸為x=2，再由x∈[-1，3]利用二次函數的性質求出
函數的值域．
（2）由題意可得函數y=|f（x）|的圖象和直線y=a有3個交點，數形結合可得a的值．
（3）分①當t+1＜2時、②當 t≤2≤t+2、③當t＞2時三種情況，分別利用二次函數的性質求出函數的最小值．

解答：解：（1）當x∈[-1，3]時，由于函數f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，它的對稱軸為x=2．
故當x=2時，函數取得最小值為f（2）=-1，故當x=-1時，函數取得最大值為f（-1）=-8，
故函數的值域為[-1，8]．
（2）關于x的方程|f（x）|-a=0有三個不相等的實數根，∴函數y=|f（x）|的圖象和直線y=a有3個交點．
數形結合可得，a=1．
（3）已知t＞0，①當t+1＜2時，即t＜1時，函數f（x）在區間[t，t+1]上單調遞減，
故當x=t+1時，函數取得最小值為 f（t+1）=t²-2t．
②當 t≤2≤t+1，即 1≤t≤2時，當x=2時，函數取得最小值為 f（2）=-1．
③當t＞2時，函數f（x）在區間[t，t+1]上單調遞增，
故當x=t時，函數取得最小值為 f（t）=（t-2）²-1．
綜上可得，函數的最小值為 f_min（x）=

t2-1 ，t＜1 -1  ，0≤t≤2 (t-2)2-1 ， t＞2

．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，求函數的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的
數學思想，屬于基礎題．