Question

設

a

、

b

為平面向量，若存在不全為零的實數λ，μ使得λ

a

+μ

b

=0，則稱

a

、

b

線性相關，下面的命題中，

a

、

b

、

c

均為已知平面M上的向量．
①若

a

=2

b

，則

a

、

b

線性相關；
②若

a

、

b

為非零向量，且

a

⊥

b

，則

a

、

b

線性相關；
③若

a

、

b

線性相關，

b

、

c

線性相關，則

a

、

c

線性相關；
④向量

a

、

b

線性相關的充要條件是

a

、

b

共線．
上述命題中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析：利用

a

和 

b

線性相關 等價于

a

 和 

b

 是共線向量，故①正確，②不正確，④正確．通過舉反例可得③不正確．

解答：解：若

a

、

b

線性相關，假設λ≠0，則

a

=-

μ

λ

b

，故

a

和 

b

是共線向量．
反之，若

a

和 

b

是共線向量，則

a

=-

μ

λ

b

，即λ

a

+μ

b

=0，故

a

和 

b

線性相關．
故

a

和 

b

線性相關 等價于

a

 和 

b

 是共線向量．
①若

a

=2

b

，則

a

-2

b

=0，故

a

和 

b

線性相關，故①正確．
②若

a

和 

b

為非零向量，

a

⊥

b

，則

a

 和 

b

 不是共線向量，不能推出

a

和 

b

線性相關，故②不正確．
③若

a

和 

b

線性相關，則 

c

 和 

b

  線性相關，不能推出若

a

和 

c

線性相關，例如當

b

=

0

 時，

a

和 

b

可以是任意的兩個向量．故③不正確．
④向量

a

和 

b

線性相關的充要條件是

a

和 

b

是共線向量，故④正確．
故答案為  ①④．

點評：本題考查兩個向量線性相關的定義，兩個向量共線的定義，明確

a

和 

b

線性相關 等價于

a

 和 

b

 是共線向量，是解題的關鍵．