Question

（本題滿分12分）已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，以原點為圓點，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設P（4，0），A,B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交隨圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點Q.

Answer 1

（Ⅰ）="1." （Ⅱ）直線AE與x軸相交于定點Q(1,0)。

試題分析：（1）根據橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為得到a,c的比值，以原點為圓點，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。那么利用線與圓相切，利用點到直線的距離公式得到圓的半徑。求解得到結論。
（2）由題意知直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k(x-4)．與橢圓方程聯立，然后結合韋達定理，得到k的表達式，進而得到交點定點的坐標。
解：（Ⅰ）由題意知e==，所以e²===．即a²=b²．
又因為b==，所以a²=4，b²=3．故橢圓的方程為=1.…4分
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k(x-4)．
由,得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0． ①…6分
設點B(x₁,y₁)，E(x₂,y₂)，則A(x₁,-y₁)．直線AE的方程為y-y₂=(x-x₂)．令y=0，得x=x₂-．將y₁=k(x₁-4)，y₂=k(x₂-4)代入，
整理，得x=． ②…8分
由①得x₁+x₂=，x₁x₂=…10分  代入②整理，得x=1．
所以直線AE與x軸相交于定點Q(1,0)．……12分
點評：解決該試題的關鍵是熟練的運用橢圓的幾何性質得到其橢圓的方程，以及聯立方程組的思想，結合韋達定理得到k的值，求解得到定點。