Question

已知：以點C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點．
（Ⅰ）當t=2時，求圓C的方程；
（Ⅱ）求證：△OAB的面積為定值；
（Ⅲ）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當t=2時，圓心為C（2，1），即可得出圓C的方程；
（Ⅱ）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標，表示出面積即可；
（Ⅲ）設MN的中點為H，則CH⊥MN，根據(jù)C、H、O三點共線，K_MN=-2，由直線OC的斜率k=

2 t

t

=

1

2

，求得t的值，可得所求的圓C的方程．

解答：（Ⅰ）解：當t=2時，圓心為C（2，1），
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5；
（Ⅱ）證明：由題設知，圓C的方程為（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
化簡得x²-2tx+y²-

4

t

y=0．
當y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；
當x=0時，y=0或

4

t

，則B（0，

4

t

），
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

|2t|•|

4

t

|=4為定值．
（Ⅲ）解：∵OM=ON，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，
∴C、H、O三點共線，K_MN=-2，則直線OC的斜率k=

2 t

t

=

1

2

，
∴t=2或t=-2．
∴圓心為C（2，1）或C（-2，-1），
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5．
由于當圓方程為（x+2）²+（y+1）²=5時，直線2x+y-4=0到圓心的距離d＞r，
此時不滿足直線與圓相交，故舍去，
∴所求的圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，圓的標準方程等有關知識，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，是中檔題．