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已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞
1
12
loga(a-1)+
2
3
對大于1的自然數n都成立，則實數a的取值范圍為
1＜a＜
1+
5
2
1＜a＜
1+
5
2
．
分析：設Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，（n≥2），由已知，只需
1
12
loga(a-1)+
2
3
小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn隨n的增大而增大，當n=2時Sn取得最小值
7
12
，再解對數不等式即可．
解答：設Sn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，（n≥2）則S n+1=
1
n+2
+…+
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2n+2
  
  Sn+1-Sn=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
=
1
2n+1
-
1
2n+2
＞0，∴Sn隨n的增大而增大．當n=2時，Sn取得最小值，S2=
1
3
+
1
4
=
7
12

∴
7
12
＞
1
12
loga(a-1)+
2
3
恒成立． 移向化簡整理得loga（a-1）＜-1．①
根據對數的真數為正得：a-1＞0，a＞1，①再根據對數函數單調性得a-1＜
1
a
，a2-a-1＜0，②
①②聯立解得1＜a＜
1+
5
2

故答案為：1＜a＜
1+
5
2
點評：本題是不等式、函數、數列的結合，考查數列的函數性質，對數不等式，分式不等式的解．考查不等式恒成立問題、轉化、計算能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
1
2
[log2n]，其中n為大于2的整數，[log2n]表示不超過log2n的最大整數．設數列{an}的各項為正，且滿足a1=b（b＞0），an≤
nan-1
n+an-1
，n=2，3，4，…．證明：an＜
2b
2+b[log2n]
，n=3，4，5，…．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞a對一切大于1的自然數n都成立，則a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
1
2
[log2n]，其中n為大于2的整數，[log2n]表示不超過log2n的最大整數．設數列{an}的各項為正，且滿足a1=b(b＞0)，an≤
nan-1
n+an-1
，n=2，3，4，…
（Ⅰ）證明an＜
2b
2+b[log2n]
，n=3，4，5，…
（Ⅱ）試確定一個正整數N，使得當n＞N時，對任意b＞0，都有an＜
1
5
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
＞
1
12
loga(a-1)+
2
3
對于一切大于1的自然數n都成立．
求證：實數a的取值范圍是1＜a＜
1+
5
2
．

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