Question

(吉林實驗中學模擬)如下圖，在正方體ABCD－中，M是棱AB的中點．

(1)求證：BC∥平面；

(2)求二面角－－C的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)． 又平面，平面， 平面；　　　　(5分) (2)設平面與棱DC相交于點N，連結，則點N是DC的中點． 平面，平面，∴平面平面，且是交線． 過點C作于H點，則CH⊥平面，再過H作HO⊥于點O， 連結CO，根據三垂線定理得，從而是二面角C－－N，也就是所求二面角的補二面角的平面角．　　(8分) 設正方體的棱長為2，則在中，由于，所以有． 在中，由于，，所以有 ． 又由于可求得 ． ， 所以在中，有 ． 進而有． 根據三角形面積公式得 ． 從而在中，，． 因此所求的二面角的大小為．　　　　(12分) 解法二：分別以直線DA、DC、為x、y、z軸建立空間直角坐標系D－xyz，并設正方體的棱長為2，則相關點的坐標分別為(2，0，2)，(0，0，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)，　　　　(6分) 設n=(x，y，z)是平面的法向量，． 而且， 所以有即 令z=1，則y=2x，x=0，從而．　　　　(8分) 再設是平面的法向量， 則， 而且， 所以有即 令，則，從而． 設θ是所求二面角的平面角，則θ是鈍角，并且有， 即為所求．　　　　(12分)