Question

如圖，已知：射線為，射線為，動點在的內部，于，于，四邊形的面積恰為.
（1）當為定值時，動點的縱坐標是橫坐標的函數，求這個函數的解析式；
（2）根據的取值范圍，確定的定義域.
 

Answer 1

（1）
（2）當k=1時，定義域為{x|x>}；
當0<k<1時，定義域為{x|};
當k>1時，定義域為{x|}.

（1）設M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
則|OM|=，|ON|=。
由動點P在∠AOx的內部，得0<y<kx.
∴|PM|==，|PN |==
∴（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-( a -b)y=2k         ①
又由k_PM= -=， k_PN==，
分別解得，，代入①式消a、b，并化簡得x²-y²=k²+1。
∵y>0，∴
（2）由0<y<kx，得  0<<kx
       (*)
當k=1時，不等式②為0<2恒成立，∴(*)x>。
當0<k<1時，由不等式②得，，∴(*)。
當k>1時，由不等式②得，且，∴(*)
但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點不能組成四邊形，
所以還必須滿足條件：，將它代入函數解析式，得
解得 (k>1).
綜上：當k=1時，定義域為{x|x>}；
當0<k<1時，定義域為{x|};
當k>1時，定義域為{x|}.