Question

（本題滿分10分）

如圖，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB＝2，側棱BB₁的長為4，過點B作B₁C的垂線交側棱CC₁于點E，交B₁C于點F，

⑴求證：A₁C⊥平面BDE；

⑵求A₁B與平面BDE所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

⑴由三垂線定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE

⑵

【解析】

試題分析：⑴由三垂線定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE

⑵以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立坐標系，則，

，∴，∴

設A₁C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁BK為A₁B與平面BDE所成角，

∴

考點：本題主要考查三垂線定理的應用，角的計算，空間向量的應用。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。本題解法利用了向量，簡化了證明過程。