Question

已知二次函數f（x）=3x²-3x直線l₁：x=2和l₂：y=3tx，其中t為常數且0＜＜1．直線l₂與函數f（x）的圖象以及直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象圍成的封閉圖形如圖中陰影所示，設這兩個陰影區域的面積之和為S（t）．
（1）求函數S（t）的解析式；
（2）若函數L（t）=S（t）+6t-2，判斷L（t）是否存在極值，若存在，求出極值，若不存在，說明理由；
（3）定義函數h（x）=S（x），x∈R若過點A（1，m）（m≠4）可作曲線y=h（x）（x∈R）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立方程求出直線l₂與f（x）的圖象的交點橫坐標，再由定積分求出陰影部分的面積；
（2）由（1）求出L（t）的解析式，再求出L^′（t）＞0，再由極值的定義進行判斷；
（3）由（2）和定義求出h（x），再求出h^′（x），利用過點A的切線斜率相等，以及導數的幾何意義和斜率公式列出方程，
轉化為此方程由三個根，進而構造出相應的函數，利用導數求出此函數的極值，令極大值大于零、極小值小于零列出關于m的不等式求出．

解答：解：（1）由

y=3x2-3x y=3tx

，得x²-（t+1）x=0，
∴x₁=0，x₂=t+1即直線l₂與f（x）的圖象的交點橫坐標分別為0，t+1，
∵0＜t＜1，1＜t+1＜2，
∴s（t）=

∫

t+1 0

[3tx-(3x2-3x)]dx+

∫

2 t+1

[(3x2-3x)-3tx]dx
=

[ 3(t+) 2 x2-x3]

t+1 0

+

[x3- 3(t+1) 2 x2]

2 t+1

=（t+1）³-6t+2
（2）由（1）知L（t）=S（t）+6t-2=（t+1）³，L^′（t）=3（t+1）²＞0，
∴當0＜t＜1時，L（t）為增函數，故不存在極值，
（3）依據定義，h（x）=（x+1）³-6x+2，x∈R，h^′（x）=3（x+1）²-6，
∵m≠4，則點A（1，m）不在曲線y=h（x）上，過點A作曲線y=h（x）的切線，
設切點M為（x₀，y₀），則3(x0+1)2-6=

3(x0+1)2-6x0+2-m

x0-1

化簡整理得2x03-6x0+m=0有三個不等實根，
設g（x₀）=2x03-6x0+m，則g′(x0)=6x02-6，
由g^′（x₀）＞0，得x₀＞1或x₀＜-1；由g^′（x₀）＜0得-1＜x₀＜1，
∴g（x₀）在區間（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，
∴當x₀=-1時，函數g（x₀）取極大值，當x₀=1時，函數g（x₀）取極小值，
因此，關于x₀的方程2x03-6x0+m=0有三個不等實根的充要條件是

g(-1)＞0 g(1)＜0

，
即

m+4＞0 m-4＜0

，即-4＜m＜4，
故實數m的取值范圍是（-4，4）．

點評：本題考查利用定積分求面積，以及利用導數研究函數單調性和極值，考查學生分析、解決問題的能力和轉化思想．