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已知函數f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］

(1)若f(x)的定義域為(－∞,+∞)，求實數a的取值范圍；

(2)若f(x)的值域為(－∞,+∞),求實數a的取值范圍 

(1) a≤－1或a>為 (2) 1≤a≤


解析:

  (1）依題意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立，當a2－1≠0時，其充要條件是，

∴a＜－1或a>.

又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意. 

故a≤－1或a>為所求.

(2）依題意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有,解得1＜a≤,又當a2－1=0即a=1時，t=2x+1符合題意而a=－1時不合題意，∴1≤a≤為所求.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數．

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