Question

已知數列{a_n}滿足條件；a₁=1，a₂=r（r＞0）且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N）成立的q的取值范圍；
（2）設b_n=a_2n-1+a_2nn （n∈N），求b_n的表達式；
（3）設{S_n}是數列{b_n}的前n項和，求S_n和 ；
（4）設，求數列{}的最大值與最小值．

Answer 1

解：（1）∵數列{a_n}滿足條件：a₁=1，a₁=r，
且數列{a_na_n+1}是公比為q的等比數列，
∴q≠0，r≠0，且a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，
∵a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，
∴rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q²
即：q²-q-1＜0，
∴（1-）＜q＜（1+），
∵q＞0，
∴．
（2）∵數列{a_na_n+1}是公比為q的等比數列，
∴，
∵a₁=1，
∴當n=2k-1時，a_n=q^k-1
∵a₂=r，
∴當n=2k時，a_n=rq^k-1．
∵b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N），
∴b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）當q=1時，S_n=n（1+r），
==0；
當0q＞1時，S_n=
==0．
∴=．
（4）∵b_n=（1+r）q^n-1，
∴==1+，
記，
當n-20.2＞0，即n＞21，n∈N⁺時，C_n隨n的增大而減小，
∴．
當n-20.2＜0，即n≤20，n∈N⁺時，C_n隨n的增大而減小，
∴1＞C_n≥C₂₀=．
綜上所述，對任意的自然數n，有C₂₀≤C_n≤C₂₁，
∴數列{}中，n=21時，取最大值，n=20時，取最小值-4．
分析：（1）由a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，知rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q² 即：q²-q-1＜0∴（1-）＜q＜（1+），由此能求出．
（2）由數列{a_na_n+1}是公比為q的等比數列，知，由此能求出b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）當q=1時，==0；當0q＞1時，==0．由此能求出．
（4）由b_n=（1+r）q^n-1，知==1+，由此能求出數列{}的最大值和最小值．
點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．