Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面積為2，求b＋c．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）6.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 對于2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC通過三角恒等變換，再結合角的范圍即可得；(Ⅱ)利用余弦定理、面積公式可求.

試題解析：(Ⅰ) 由2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC，得

2(cosBcosC＋sinBsinC)＋1＝4cosBcosC，

即2(cosBcosC－sinBsinC)＝1，亦即2cos(B＋C)＝1，

∴cos(B＋C)＝．     ∵0＜B＋C＜π，∴B＋C＝．

∵A＋B＋C＝π，     ∴A＝．                  6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），得A＝．

由S_△ABC＝2，得bcsin＝2，∴bc＝8．   ①

由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA，得

(2)²＝b²＋c²－2bccos，即b²＋c²＋bc＝28，

∴(b＋c)²－bc＝28．                         ②

將①代入②，得(b＋c)²－8＝28，

∴b＋c＝6．                           12分

考點：解三角形，正、余弦定理，面積公式