Question

如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方從1按箭頭方向可以構成一個“鋸齒形”的數列{a_n}：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前n項和為S_n，則S₁₉的值為

 

．

Answer 1

分析：從楊輝三角的生成過程，C_n^m-1+C_n^m=C_n^m，對該數列分奇偶討論，求出數列的通項公式，解決S₁₉的值

解答：解：從楊輝三角形的生成過程，可以得到這個數列的通項公式a_n；
當n為偶數時，a_n+2=a_n+1，
∴a_n是以3為首項，1為公差的等差數列，∴an=

n+4

2

，
n為奇數時，a_n+2=a_n+a_n-1（n≥3），即an+2-an=

n+3

2

∴a₅-a₃=3
a₇-a₅=4…
an-an-2=

n+1

2

∴an=

(n+1)(n+3)

8

而a₁=1滿足上式
故n為奇數是，an=

(n=1)(n+3)

8

∴S₁₉=（a₁+a₃+…a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₁₈）
=

1

8

[12+32+52+…+192+4(1+3+5+…+19)+30]+ (3+4++…+11)
=220+63=283
故答案為：283．

點評：從楊輝三角形成的過程，得出數列的通項公式是難點和關鍵，題目比較新，屬中檔題．