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設函數f（x）=
mx+2
x-1
的圖象關于點（1，1）對稱．
（1）求m的值；
（2）若直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點，且f（|t-2|+
3
2
）＜2a+f（4a），求實數t的取值范圍．
分析：（1）在函數f（x）圖象上取一點（0，-2），此點關于點（1，1）的對稱點（2，4）在函數f（x）的圖象上，由此求得m的值．
（2）由（1）可得f（x）=1+
3
x-1
，故 f（x） 的值域為{y|y≠1}，a=1．不等式即 f（|t-2|+
3
2
）＜2+f（4）=4，整理可得|t-2|＞
1
2
，由此求得實數t的取值范圍．
解答：解：（1）在函數f（x）=
mx+2
x-1
的圖象上取一點（0，-2），此點關于點（1，1）的對稱點為（2，4），
由題意可得，點（2，4）在函數f（x）=
mx+2
x-1
的圖象上，∴4=
2m+2
2-1
，解得 m=1．
（2）由（1）可得f（x）=
x+2
x-1
=1+
3
x-1
，∴f（x） 的值域為{y|y≠1}．
當直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點，a=1，不等式即 f（|t-2|+
3
2
）＜2+f（4）=4，
∴1+
3
|t-2|+
1
2
＜4，整理可得|t-2|＞
1
2
，解得：t＞
5
2
，或 t＜
3
2
，
即實數t的取值范圍為（
5
2
，+∞）∪（-∞，
3
2
 ）．
點評：本題主要考查函數的圖象，分式不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

4、設函數f（x）=x2+mx（x∈R），則下列命題中的真命題是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（cosωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．設f(x)=
OA
•
OB
．
（1）若a=
3
，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在區間[0，2π]內的解集；
（2）若點A是過點（-1，1）且法向量為
n
=(-1，1)的直線l上的動點．當x∈R時，設函數f（x）的值域為集合M，不等式x2+mx＜0的解集為集合P．若P⊆M恒成立，求實數m的最大值；
（3）根據本題條件我們可以知道，函數f（x）的性質取決于變量a、b和ω的值．當x∈R時，試寫出一個條件，使得函數f（x）滿足“圖象關于點(
π
3
，0)對稱，且在x=
π
6
處f（x）取得最小值”．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）
設函數f（x）=mx-2+|2x-1|．
（1）若m=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若函數f（x）有最小值，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=mx2-mx-1．
（1）若對于一切實數x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍；
（2）對于x∈[1，3]，f（x）＞-m+x-1恒成立，求m的取值范圍．

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