Question

（滿分１5分）設函數，，（其中為自然底數）；

（Ⅰ）求（）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函數使得且對一切恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）數列中，，，求證：。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）0（Ⅱ）存在符合要求,理由見解析（Ⅲ）先證遞減且，再利用放縮不等式證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）時，

易知時、時；

所以時求取最小值等于0；                          ……4分

（Ⅱ）由題Ⅰ易知，，所以；                   ……6分

所以可設，代入

得恒成立，所以，

所以，；                                                  ……8分

此時設，

則，易知，即對一切恒成立；

綜上，存在符合要求，它恰好是圖象的公切線.  ……10分

（Ⅲ）先證遞減且；

由題（Ⅱ）知，所以，即為遞減數列；

又，，所以，…

因為當時總有，

所以；                                  ……13分

所以

.                                            ……15分

考點：本小題主要考查利用導數求最值、利用導數求解和恒成立問題和利用導數證明不等式，考查學生利用導數這個工具解決問題的能力和運算求解能力.

點評：導數是研究函數的性質如單調性、極值、最值等的有力工具，有時也用導數來解決實際應用題，要注意研究導數性質的時候不要忘記函數的定義域.