Question

甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲，由于計(jì)算錯(cuò)誤，在A、B兩個(gè)噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克，實(shí)際要求兩個(gè)噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的，現(xiàn)在只有兩個(gè)容量為1千克的藥瓶，他們從A、B兩個(gè)噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，這樣操作進(jìn)行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為，B噴霧器中藥水的濃度為．

（1）證明：是一個(gè)常數(shù)；

（2）求與的關(guān)系式；

（3）求的表達(dá)式．

 

Answer 1

【答案】

（1）利用農(nóng)藥的重量始終不變得到其和為定值；（2） ；（3）．

【解析】

試題分析：（1）開始時(shí)，A中含有10=1.2千克的農(nóng)藥，B中含有10=0.6千克的農(nóng)藥，n次操作后，A中含有千克的農(nóng)藥，B中含有千克的農(nóng)藥，它們的和應(yīng)與開始時(shí)農(nóng)藥的重量和相等，從而

（常數(shù)）．          4分

（2）第n次操作后，A中10千克的藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式：由（1）知，代入化簡(jiǎn)得  ①            8分

（3）令，利用待定系數(shù)法可求出λ=—9，所以，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

由①，

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：，

所以．                       12分

考點(diǎn)：本題考查了數(shù)列的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位，涉及的實(shí)際應(yīng)用問題廣泛而多樣．如銀行信貸、增長(zhǎng)率、養(yǎng)老保險(xiǎn)等，運(yùn)用數(shù)列解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，弄清楚問題的哪一部分是數(shù)列問題，是哪種數(shù)列的問題