Question

設函數f(x)＝3x²＋1，g(x)＝2x，現有數列{a_n}滿足條件：對于n∈N^*，a_n＞0且f(a_n＋1)－f(a_n)＝g(a_n+1＋)，又設數列{b_n}滿足條件：b_n＝(a＞0且a≠1，n∈N^*)．

(1)求證：數列{a_n}為等比數列；

(2)求證：數列是等差數列；

(3)設k，L∈N^**，且k＋L＝5，b_k＝，b_L＝，求數列{b_n}的通項公式；

(4)如果k＋L＝M₀(k，L∈N_＋，M₀＞3且M₀是奇數)，且b_k＝，b_L＝，求從第幾項開始a_n＞1恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝3x2＋1，g(x)＝2x，f(an＋1)-f(an)＝g(an＋1＋) 　　∴3(an＋1)2＋1-3a2n-1＝2(an＋1＋)，即6an＝2an＋1 　　∴＝3　∴數列{an}是以3為公比的等比等列…………3分 　　(2)∵bn＝　∴＝，＝ 　　∴-＝＝ 　　∴數列{}是以為首項，公差為的等差數列…………6分 　　(3)為方便起見，記數列{}的公差為，由于． 　　又∵bk＝，bL＝ 　　∴，∴ 　　∴ 　　∵k＋L＝5　∴ 　　∴＝…………10分 　　(4)若k＋L＝M0，由(3)可知＝＝3M0-3n＋1 　　假設第M＋1項開始滿足an＞1恒成立， 　　∵bn＝(，n∈N*)　∴ 　　由(3)知，∴0＜a＜1，所以要an＞1恒成立，只需＜0，即 　　又M∈N* 　　∴M＝M0，即數列{an}從第M0＋1項開始以后的項滿足an＞1…14分