Question

（2013•四川）某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個整數中等可能隨機產生
（I）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率p_i（i=1，2，3）；
（II）甲乙兩同學依據自己對程序框圖的理解，各自編程寫出程序重復運行n次后，統計記錄輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻數，以下是甲乙所作頻數統計表的部分數據．
甲的頻數統計圖（部分）

運行次數n	輸出y的值為1的頻數	輸出y的值為2的頻數	輸出y的值為3的頻數
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697

乙的頻數統計圖（部分）

運行次數n	輸出y的值為1的頻數	輸出y的值為2的頻數	輸出y的值為3的頻數
30	12	11	7
…	…	…	…
2100	1051	696	353

當n=2100時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1，2，3）的頻率（用分數表示），并判斷兩位同學中哪一位所編程序符合要求的可能系較大；
（III）將按程序擺圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）變量x是在1，2，3，…，24這24個整數中隨機產生的一個數，共有24種可能，由程序框圖可得y值為1，2，3對應的情況，由古典概型可得；（II）由題意可得當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出的y值為1，2，3時的頻率，可得答案；（III）隨機變量ξ的可能取值為：0，1，2，3，分別求其概率可得分布列和期望．

解答：解：（I）變量x是在1，2，3，…，24這24個整數中隨機產生的一個數，共有24種可能，
當x從1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23這12個數中產生時，輸出的y值為1，故P₁=

12

24

=

1

2

；
當x從2，4，8，10，14，16，20，22這8個數中產生時，輸出的y值為2，故P₂=

8

24

=

1

3

；
當x從6，12，18，24這4個數中產生時，輸出的y值為3，故P₃=

4

24

=

1

6

；
故輸出的y值為1的概率為

1

2

，輸出的y值為2的概率為

1

3

，輸出的y值為3的概率為

1

6

；
（II）當n=2100時，甲、乙所編程序各自輸出的y值為i（i=1，2，3）的頻率如下：

	輸出y值為1的頻率	輸出y值為2的頻率	輸出y值為3的頻率
甲	1027 2100	376 2100	697 2100
乙	1051 2100	696 2100	353 2100

比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大；
（III）隨機變量ξ的可能取值為：0，1，2，3，P（ξ=0）=

C

0 3

×(

1

3

)0×(

2

3

)3=

8

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

×(

1

3

)1×(

2

3

)2=

4

9

P（ξ=2）=

C

2 3

×(

1

3

)2×(

2

3

)1=

2

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

3

)3×(

2

3

)0=

1

27

，故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

所以所求的數學期望Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及程序框圖和數學期望的求解，屬中檔題．