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已知f（x）=數學公式是奇函數．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數 f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數y=F（x）是以2為周期的奇函數，當x∈（-1，0）時，F（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時F（x）的表達式．

解：（1）∵f（x）=是奇函數，由f（0）=，得a=-1；
（2）由y=f（x）=，
得，
∴．
而，
∴f-1（x）在（-1，1）上是奇函數；
（3）因為當-1＜x＜1時，F（x）=f-1（x）
∴當2＜x＜3時，-3＜-x＜-2?-3+2＜2-x＜0?-1＜2-x＜0
∴，
又∵F（x）是以2為周期的奇函數，
∴F（2-x）=F（-x）=-F（x）
∴．
分析：（1）函數f（x）是定義在實數集上的奇函數，由f（0）=0求解a的值；
（2）由函數解析式利用指數式和對數式的互化求解x，把x和y互換后得到原函數的反函數，然后利用就行的定義證明奇偶性；
（3）由2＜x＜3兩邊同時乘以-1，再加2后求出2-x的范圍，代入F（x）=f-1（x），再利用周期函數的性質得到x∈（2，3）時F（x）的表達式．
點評：本題考查了函數的性質，考查了函數的反函數的求法，訓練了指數式和對數式的互化，通過對定義域的變化求解函數解析式是解答該題的關鍵，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數． 當a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時，有
f(a)+f(b)a+b
＞0成立．
（Ⅰ）判斷函f（x）的單調性，并證明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1對所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意實數a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）（x∈R）的一段圖象如圖所示，f′（x）是函f（x）（數的導函數，且y=f（x+1）是奇函數，給出以下結論：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•寶山區二模）已知f（x）=
10x+a10x+1
是奇函數．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數 f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數y=F（x）是以2為周期的奇函數，當x∈（-1，0）時，F（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時F（x）的表達式．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年陜西師大附中高一（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數． 當a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時，有成立．
（Ⅰ）判斷函f（x）的單調性，并證明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1對所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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