Question

(本小題滿分13分)

已知三次函數的導函數，，，為實數。

（1）若曲線在點（，）處切線的斜率為12，求的值；

（2）若在區間上的最小值、最大值分別為和1，且，求函數的解析式。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  ；（Ⅱ） = 。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解曲線的切線方程和函數的極值以及函數的最值的綜合運用。

（1）利用導數的幾何意義表述出切線的斜率，就是導數值，然后得到結論。

（2）利用已知關系式求解導數得到導數為正或者為負時的解集，得到單調區間，進而分析最值問題的運算。

解析：（Ⅰ）由導數的幾何意義=12  ……………1分

∴       ∴   ∴  …………………4分

（Ⅱ）∵ ， 

∴                 ……6分

由  得，

∵ ［-1，1］，

∴ 當［-1，0)時，，遞增；

當（0，1］時，，遞減。……………9分

∴ 在區間［-1，1］上的最大值為

∵ ，∴ =1 ……………………11分

∵ ，

∴  ∴ 是函數的最小值，

∴   ∴

∴ =  ………………13分