Question

某地需要修建一條大型輸油管道通過240公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）．經預算，修建一個增壓站的工程費用為400萬元，鋪設距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為x²+x萬元．設余下工程的總費用為y萬元．
（1）試將y表示成關于x的函數；
（2）需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）先設需要修建k個增壓站，列出余下工程的總費用的函數表達式，再結合自變量x的實際意義：x表示相鄰兩增壓站之間的距離，確定出函數的定義域即可．
（2）依據（1）中得出的函數表達式，結合基本不等式即可求得函數y的最大值．最后回到原實際問題進行解答即可．

解答：解：（1）設需要修建k個增壓站，則（k+1）x=240，即k=

240

x

-1．所以y=400k+(k+1)(x2+x)=400×(

240

x

-1)+

240

x

(x2+x)=

96000

x

+240x-160．
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤240．
故y與x的函數關系是y=

96000

x

+240x-160(0＜x≤240)．
（2）y=

96000

x

+240x-160≥2

96000 x ×240x

-160=2×4800-160=9440．
當且僅當

96000

x

=240x即x=20時取等號．此時，k=

240

x

-1=

240

20

-1=11．
故需要修建11個增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬元．

點評：本小題主要考查基本不等式、函數單調性的應用、函數模型的選擇與應用、函數最值的應用等基礎知識，考查應用數學的能力．屬于中檔題．