Question

如圖，9個正數(shù)排列成3行3列，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，且所有的公比都是q，已知a₁₂=1，，又設第一行數(shù)列的公差為d₁．
（Ⅰ）求出a₁₁，d₁及q；
（Ⅱ）若保持這9個數(shù)的位置不動，按照上述規(guī)律，補成一個n行n列的數(shù)表如下，試寫出數(shù)表第n行第n列a_nn的表達式，并求S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）仔細觀察圖表，由題設條件知，由此能求出求出a₁₁，d₁及q．
（Ⅱ）由圖表中的規(guī)律，知=，由此利用錯位相減法能求出S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．
解答：（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵9個正數(shù)排列成3行3列，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，
每一列的數(shù)成等比數(shù)列，且所有的公比都是q，
a₁₂=1，，設第一行數(shù)列的公差為d₁．
∴，
解得．
（Ⅱ）因為=，
∴①②
由①-②，得，
∴．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，考查推理論證能力，考查等價轉化思想，考查計算能力，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，解題時要注意錯位相減法的合理運用．