Question

下列命題正確的是（　　）

• A、已知p：

  1

  x+1

  ＞0，則^p：

  1

  x+1

  ≤0
• B、在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，則a＞b是cosA＜cosB的充要條件
• C、命題p：對任意的x∈R，x²+x+1＞0，則?p：對任意的x∈R，x²+x+1≤0
• D、存在實數x∈R，使sinx+cosx=

  π

  2

  成立

Answer 1

分析：選項A根據命題的否定求解可知不正確，選項B，因為A、B是三角形的內角，所以A、B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是減函數．由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案．選項C，根據命題“對任意的x∈R，x²+x+1＞0”是全稱命題，其否定是對應的特稱命題，從而得出答案．選項D，sinx+cosx的最大值為

2

，而

π

2

＞

2

，從而可得結論．

解答：解：選項A，p：x＞-1，則?p：x≤-1，而

1

1+x

≤0的解集是x＜-1，故不正確；
選項B，∵A、B是三角形的內角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是減函數，∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故正確；
選項C，全稱性量詞的否定需改成對應的特稱量詞；
選項D，sinx+cosx的最大值為

2

，而

π

2

＞

2

，故不正確．
故選B．

點評：本題考查充要條件的性質和應用，解題時要注意余弦函數單調性的合理運用，全稱命題與特稱命題的相互轉化．要注意兩點：1）全稱命題變為特稱命題；2）只對結論進行否定．