Question

甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

．
（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．

Answer 1

分析：（1）由已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

4

，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為

1

12

，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為

2

9

．結(jié)果獨(dú)立事件概率公式，構(gòu)造方程，易得甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；
（2）甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品與甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，沒(méi)有一個(gè)一等品為互斥事件，我們可能根據(jù)互斥事件概率的關(guān)系，求出甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，沒(méi)有一個(gè)一等品的概率，再進(jìn)一步求出從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件．
由題設(shè)條件有

P(A• B )= 1 4 P(B• C )= 1 12 P(A•C)= 2 9 .

即

P(A)•(1-P(B))= 1 4 P(B)•(1-P(C))= 1 12 P(A)•P(C)= 2 9 .

由①、③得P(B)=1-

9

8

P(C)
代入②得27[P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P（C）=

2

3

或

11

9

（舍去）．
將P(C)=

2

3

分別代入③、②可得
P(A)=

1

3

，P(B)=

1

4

.
即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是

1

3

，

1

4

，

2

3

.
（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件，
則P(D)=1-P(

.

D

)=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))=1-

2

3

•

3

4

•

1

3

=

5

6

.
故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為

5

6

.

點(diǎn)評(píng)：若A事件發(fā)生的概率為P（A），B事件發(fā)生的概率為P（B），則
①A，B同時(shí)發(fā)生的概率為P（A）P（B）；
②A，B同時(shí)不發(fā)生的概率為P（

.

A

）P（

.

B

）；
③A不發(fā)生B發(fā)生的概率為P（

.

A

）P（B）；
④A發(fā)生B不發(fā)生的概率為P（A）P（

.

B

）；