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已知點F是雙曲線C：x2-y2=2的左焦點，直線l與雙曲線C交于A、B兩點，
（1）若直線l過點P（1，2），且
OA
+
OB
=2
OP
，求直線l的方程．
（2）若直線l過點F且與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，設
FB
=λ
FA
，當λ∈[6，+∞）時，求直線l的斜率k的取值范圍．
設A（x1，y2），B（x2，y2），
（1）由A、B兩點在雙曲線上，得
x21
-
y21
=2
x22
-
y22
=2

作差：（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）即
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
y1+y2
，
由
OA
+
OB
=2
OP
，知
x1+x2=2
y1+y2=4

則直線l的斜率k=
1
2
，直線l的方程為y-2=
1
2
(x-1)即x-2y+3=0
易知直線l與雙曲線有兩個交點，方程x-2y+3=0即為所求，
（2）F（-2，0），由
FB
=λ
FA
，得
x2+2=λ(x1+2)
y2=λy1

設直線l：y=k（x+2），由
y=k(x+2)
x2-y2=2
，得（1-k2）y2-4ky+2k2=0．
∴△=16k2-8k2（1-k2）=8k2（1+k2）y1+y2=
4k
1-k2
，y1y2=
2k2
1-k2
．
由y2=λy1，y1+y2=
4k
1-k2
，y1y2=
2k2
1-k2
，消去y1，y2，
得
8
1-k2
=
(1+λ)2
λ
=λ+
1
λ
+2．
∵λ≥6，函數g(λ)=λ+
1
λ
+2在（1，+∞）上單調遞增，
∴
8
1-k2
≥6+
1
6
+2=
49
6
，∴k2≥
1
49
．
又直線l與雙曲線的兩支相交，即方程（1-k2）y2-4ky+2k2=0兩根同號，
∴k2＜1．
∴
1
49
≤k2＜1，故k∈(-1，-
1
7
]∪[
1
7
，1)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示的曲線C是由部分拋物線C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲線C2：x2+
y2
m
=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直線l與曲線C1相切于點M，與曲線C2相切于點N，記點M的橫坐標為t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）當t=
2
時，求m的值和點N的坐標；
（2）當實數m取何值時，∠MAB=∠NAB？并求出此時直線l的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-
2
，0)，(
2
，0)，離心率是
6
3
，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；
（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當T變化時，求y的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經過點P(1，
2
)，其離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l：y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點，且△PAB的面積為
2
，求m的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
45
+
y2
20
=1的焦點分別為F1和F2，過原點O作直線與橢圓相交于A，B兩點．若△ABF2的面積是20，則直線AB的方程是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線準線與x軸交于C點，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的值為（　　）
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C的交點為A，B，求弦長|AB|．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e=
2
3
，過點C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數，當三角形OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問：實數λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線L：
x
4
+
y
3
=1與橢圓E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B兩點，該橢圓上存在點P，使得△PAB的面積等于3，則這樣的點P共有（　　）
A．1個B．2個C．3個D．4個

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同步練習冊答案