Question

(本小題滿分14分)
（1）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有：①AB=；②A點處對M、N兩點的俯角分別為和；B點處對M、N兩點的俯角分別為和；請同學們在示意圖中標出這四個俯角并用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟．
 
（2）在△ABC 中，若AB=2，AC=2BC，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

(1)略
(2)△ABC面積的最大值為

（1）方案一：
第一步：計算AM . 由正弦定理　；
第二步：計算AN . 由正弦定理　；
第三步：計算MN. 由余弦定理 
方案二：
第一步：計算BM . 由正弦定理　；
第二步：計算BN . 由正弦定理　；      
第三步：計算MN . 由余弦定理………7分
注：如果學生將俯角標識錯誤，而計算MN的步驟無錯，給4～5分
（2）
解法一：以AB所在的直線為軸，AB的中垂線為軸建立直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），設C（，），則由AC=2BC得，
化簡為
所以C點到AB的最大距離為，　　　△ABC面積的最大值為
解法二：記BC=，由余弦定理，從而
S=
所以當時，△ABC面積的最大值為
注：也可由海倫公式直接寫出三角形的面積公式。………………………………14分