Question

已知直線m的參數方程

x= t a2+1 y=2+ at a2+1

（t為參數，a∈R），圓C的參數方程為

x=2cosθ y=3+2sinθ

（θ為參數）
（1）試判斷直線m與圓C的位置關系，并說明理由；
（2）當a=-

1

3

時，求直線m與圓C的相交弦長；
（3）在第二問的條件下，若有定點A（-1，0），過點A的動直線l與圓C交于P，Q兩點，M是P，Q的中點，l與m交于點N，探究

AM•

AN

是否與直線l的傾斜角有關，若無關，請求出定值，若有關，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把直線m的參數方程消去參數，化為普通股方程；把圓C的參數方程消去參數，化為普通股方程，可得表示以C（0，3）為圓心，半徑等于2的圓．求得圓心到直線的距離小于半徑，可得直線和圓相交．
（2）當a=-

1

3

時，求得圓心到直線的距離d，再根據弦長為2

r2-d2

，計算求得結果．
（3）分動直線l的斜率不存在時，和當動直線l的斜率存在時兩種情況，分別求得交點N和點M的坐標，求得

AM

•

AN

  都等于7，從而得出結論．

解答：解：（1）把直線m的參數方程

x= t a2+1 y=2+ at a2+1

（t為參數，a∈R），消去參數，化為普通股方程為 y=ax+2，
圓C的參數方

x=2cosθ y=3+2sinθ

（θ為參數）消去參數，化為普通股方程為 x²+（y-3）²=4，表示以C（0，3）為圓心，半徑等于2的圓．
由于圓心到直線的距離d=

|0-3+2|

a2+1

=

1

a2+1

≤1＜r，故直線和圓相交．
（2）當a=-

1

3

時，圓心到直線的距離d=

|0-3+2|

a2+1

=

3

10

，∴弦長為2

r2-d2

=2

4- 9 10

=

310

5

．
（3）當動直線l的斜率不存在時，方程為x=-1，它與直線m：y=-

1

3

x+2的交點N（-1，

7

3

），
它與圓C的交點分別為（-1，3+

3

）、（-1，3-

3

），∴中點M（-1，3），
此時，

AM

•

AN

=（0，3）•（0，

7

3

）=7．
當動直線l的斜率存在時，設它的方程為 y-0=k（x+1），它與直線m：y=-

1

3

x+2的交點N（

6-3k

3k+1

，

7k

3k+1

），
把直線m：y=-

1

3

x+2代入圓的方程化簡可得 （1+k²）x²+（2k²-6k）x+k²-6k+5=0，
∴M的橫坐標為

x1+x2

2

=

3k-k2

1+k2

，∴M的縱坐標為 k（

3k-k2

1+k2

+1）=

k(3k+1)

1+k2

，即點M的坐標為（

3k-k2

1+k2

，

k(3k+1)

1+k2

）．
此時，

AM

•

AN

=（

3k+1

1+k2

，

k(3k+1)

1+k2

）•（

7

3k+1

，

7k

3k+1

）=

7

1+k2

+

7k2

1+k2

=7．
綜上，

AM•

AN

=7為定值，與直線l的傾斜角無關．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．