Question

已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為4，離心率為

5

5

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線l過該橢圓的左焦點，交橢圓于M、N兩點，且|MN|=

16

9

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由短軸長可得b值，由離心率為

5

5

可得

c

a

=

5

5

，結合a²=b²+c²即可求得a值，即可得出橢圓的方程；
（2）設直線方程為：y=k（x+1），聯立方程組消掉y得到x的二次方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達定理及弦長公式即可表示弦長|MN|，最后利用弦長建立等式，即可求出直線l的方程．

解答：解：（1）b=2，c=1，a=

5

，橢圓的標準方程：

x2

5

+

y2

4

=1
（2）由題意知，直線l的斜率存在，所以設直線方程為：y=k（x+1），
{，

y=k(x+1) x2 5 + y2 4 =1

，聯立得：（5k²+4）x²+10k²x+5k-20=0，
∴x1+x2=

-10k2

5k2+4

，x1x2=

5k-20

5k2+4

則：(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=

100k4

(5k2+4)2

-

4(5k-20)

5k2+4

=

20×16(k2+1)

(5k2+4)2

，
∵MN=

1+k2

|x1-x2|，
∴MN2=(1+k2)(x1-x2)2
即：

265×5

81

=(1+k2).

20×16(k2+1)

(5k2+4)2

即：

(k2+1)2

(5k2+4)2

=

4

81

，

(k2+1)

(5k2+4)

=

2

9

所以，k=±1，所以直線方程為：y=x+1或y=-x-1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，弦長公式及韋達定理是解決該類題目的基礎知識，要熟練掌握．