Question

正項數列{a_n}的前n項和S_n滿足：－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求數列{a_n}的通項公式a_n；
(2)令b_n＝，數列{b_n}的前n項和為T_n，證明：對于任意的n∈N^*，都有T_n<.

Answer 1

（1）a_n＝2n（2）

(1)由－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0，得[S_n－(n²＋n)](S_n＋1)＝0，由于{a_n}是正項數列，所以S_n＋1>0.所以S_n＝n²＋n.n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n，n＝1時，a₁＝S₁＝2適合上式．∴a_n＝2n.
(2)由a_n＝2n，得
b_n＝＝
T_n＝
＝<＝