Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₄=9，S₅=35
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

1

Sn

，求數列{b_n}的前n項和T_n
（3）對任意正整數n，不等式

an+1

(1+ 1 a1 ) (1+ 1 a2 ) …(1+ 1 an )

-

an

2n+3

≤0成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項及前n項和公式可求；
（2）先求得S_n=n²+2n，，從而可表示

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用裂項求和法易求；
（3）先分離參數為a≤

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )(1+ 1 2n+1 )

2n+3

，再構造函數，利用函數的最小值解決恒成立問題．

解答：解：（1）由已知可得a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1
（2）由（1）得S_n=n²+2n，b_n=

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n

-

1

n+2

)=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

；
（3）由已知得a≤

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )(1+ 1 2n+1 )

2n+3

，
設cn =

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )(1+ 1 2n+1 )

2n+3

，則

cn+1

cn

=

2n+4

2n+5 2n+3

＞1，
∴數列{c_n}遞增，∴c_n的最小值為c₁=

4 5

15

，
∴只需0＜a≤

4 5

15

點評：本小題主要考查數列的求和、函數單調性的應用、數列與不等式的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想