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在直角坐標系中，O為坐標原點，如果一個橢圓經過點P（3，
2
），且以點F（2，0）為它的一個焦點．
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）在（1）中求過點F（2，0）的弦AB的中點M的軌跡方程．
（1）設所求橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，
∵橢圓經過點P（3，
2
），且以點F（2，0）為它的一個焦點，
∴
a2=b2+4
9
a2
+
2
b2
=1
，解得：
a2=12
b2=8
，
∴所求橢圓方程為：
x2
12
+
y2
8
=1．（5分）
（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x，y），
∵弦AB的中點是M，
∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∵A，B都在
x2
12
+
y2
8
=1上，
∴
x12
12
+
y12
8
=1
x22
12
+
y22
8
=1
，
當x1≠x2時，
y1-y2
x1-x2
=-
8(x1+x2)
12(y1+y2)
=-
2
3
?
2x
2y
=-
2
3
?
x
y
，
又∵kAB=kMF=
y-0
x-2
，
∴-
2
3
?
x
y
=
y-0
x-2
，
整理得：2x2+3y2-4x=0；當x1=x2時，中點M（2，0）滿足條件，
總上可知：所求軌跡方程為：2x2+3y2-4x=0．（10分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知P是橢圓
x2
45
+
y2
20
=1的第三象限內一點，且它與兩焦點連線互相垂直，若點P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3，則實數m的取值范圍是（　　）
A．[-7，8]B．[-
9
2
，
21
2
]		C．[-2，2]D．（-∞，-7]∪[8，+∞）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設F1(-1，0)，F2(1，0)，動點M滿足|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求M的軌跡C的方程；
（2）設直線l：y=
7
7
(x-1)與曲線C交于A、B兩點，求
F1A
•
F1B
的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點O，左頂點A（-2，0），離心率e=
1
2
，F為右焦點，過焦點F的直線交橢圓C于P、Q兩點（不同于點A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當△APQ的面積S=
18
2
7
時，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）求
OP
•
FP
的范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

過點C（4，0）的直線與雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B兩點，則直線AB的斜率k的取值范圍是（　　）
A．|k|≥1B．|k|＞
3
C．|k|≤
3
D．|k|＜1

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，A、B是橢圓的左、右頂點，P是橢圓上不同于A、B的一點，直線PA、PB斜傾角分別為α、β，則
cos(α-β)
cos(α+β)
=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知
a
=(2mx，y-1)，
b
=(2x，y+1)，其中m∈R，
a
⊥
b
，動點M（x，y）的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程，并說明該軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）當m=
1
8
時，設過定點P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

求經過點P（-1，-6）與拋物線C：x2=4y只有一個公共點的直線l方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上點M的橫坐標為2，且|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形MPNQ面積的最小值．

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