Question

（1）設曲線C的參數方程為，直線l的參數方程為（t為參數），則直線l被曲線C截得的弦長為    ．
（2）已知a，b為正數，且直線2x-（b-3）y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直，則2a+3b的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）將曲線C化成標準方程，可得它是以（2，-1）為圓心，半徑是3的圓．然后將直線l化成一般方程，求出點（2，-1）到直線l的距離，最后利用垂直于弦的直徑的性質，得到直線l被曲線C截得的弦長；
（2）根據兩直線垂直的充要條件列式，得到3a+2b=ab，化成，利用“1”的代換將2a+3b轉化為13+，根據基本不等式，可以求得2a+3b的最小值為25．
解答：解：（1）曲線C的參數方程為，
可得，結合cos²θ+sin²θ=1，可得
曲線C的直角坐標方程為：（x-2）²+（y+1）²=9
它是以M（2，-1）為圓心，半徑為3的圓
∵直線l的參數方程為（t為參數），
∴消去參數t得直線l的直角坐標方程為：x-2y+1=0
∴點M到直線l的距離為d=
設直線l被曲線C截得的弦長為m，可得（m）²+d²=R²=9
∴m=
（2）∵直線2x-（b-3）y+6=0的斜率為，
直線bx+ay-5=0斜率為，且兩互相垂直∴
∴⇒3a+2b=ab⇒
∴2a+3b==13+
∵a，b為正數
∴
當且僅當a=b=5時，等號成立，
可得2a+3b的最小值為13+12=25
故答案為：4，25
點評：本題考查了直線的參數方程、圓的參數方程和直線與圓的位置關系，以及基本不等式求最值的知識，屬于中檔題．