試題分析:(Ⅰ)容易求得:

. 1分
故可以猜想

.下面利用數學歸納法加以證明:
顯然當

時,結論成立. 2分
假設當

;

時(也可以

),結論也成立,即

,

. 3分
那么當

時,由題設與歸納假設可知:


4分
即當

時,結論也成立,綜上,對

,

成立. 6分
(Ⅱ)


, 8分
所以


. 10分
所以只需要證明



(顯然成立)
所以對任意的自然數

,都有

. 12分
點評:數學歸納法用來證明與正整數有關的題目,證明步驟:1,證明當

時命題成立。2,假設當

時命題成立,借此證明當

是命題成立,綜上1,2得證;數列求和常用的方法有分組求和裂項相消求和錯位相減求和等