Question

如圖，A₁，A為橢圓的兩個頂點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點．
（Ⅰ）寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）過線段OA上異于O，A的任一點K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點，直線A₁P與AP₁交于點M．求證：點M在雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓頂點，焦點坐標，可得a，c的值，從而可求b的值，即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設K點坐標，表示出直線A₁P，P₁A的方程，求出直線A₁P與AP₁的交點M的坐標，代入雙曲線方程，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：由圖可知，a=5，c=4，∴b=

a2-c2

=3．
∴該橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，
（Ⅱ）證明：設K點坐標（x₀，0），點P、P₁的坐標分別記為（x₀，y₀），（x₀，-y₀），
其中0＜x₀＜5，則

x 2 0

25

+

y 2 0

9

=1，…①
直線A₁P，P₁A的方程分別為：（x₀+5）y=y₀（x+5），…②（5-x₀）y=y₀（x-5）．…③
②式除以③式得

x0+5

5-x0

=

x+5

x-5

，化簡上式得x=

25

x0

，代入②式得y=

5y0

x0

，
于是，直線A₁P與AP₁的交點M的坐標為(

25

x0

，

5y0

x0

)．
因為

1

25

(

25

x0

)2-

1

9

(

5y0

x0

)2=

25

x 2 0

-

25

x 2 0

(1-

x 2 0

25

)=1．
所以，直線A₁P與AP₁的交點M在雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1上．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線的交點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．