Question

設函數f(x)是實數集R上的增函數，令F(x)＝f(x)－f(2－x)．

(1)求證：F(x)在R是增函數；

(2)若F(x₁)＋F(x₂)＞0，求證：x₁＋x₂＞2．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：(1)任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，

　　∵f(x)在R上是增函數，

　　∴f(x₁)＜f(x₂)，f(2－x₁)＞f(2－x₂)，

　　即f(x₁)－f(x₂)＜0，f(2－x₁)－f(2－x₂)＞0．

　　∴F(x₁)－F(x₂)＝[f(x₁)－f(2－x₁)]－[f(x₂)－f(2－x₂)]

　　＝[f(x₁)－f(x₂)]＋[f(2－x₂)－f(2－x₁)]＜0，

　　即F(x₁)＜F(x₂)．

　　∴F(x)在R上是增函數．

　　(2)∵F(x₁)＋F(x₂)＞0，

　　∴F(x₁)＞－F(x₂)．

　　而－F(x₂)＝－[f(x₂)－f(2－x₂)]

　　＝f(2－x₂)－f(x₂)

　　＝f(2－x₂)－f[2－(2－x₂)]

　　＝F(2－x₂)．

　　∴F(x₁)＞F(2－x₂)．

　　又∵F(x)在R上是增函數，

　　∴x₁＞2－x₂，即x₁＋x₂＞2．

　　思路分析：無論給出的函數式子多么復雜，只要是證明單調性，主要用“定義法”，要是比較自變量的大小，一般用單調性定義的逆命題．這就是解題思路，在正確的思路指導下，必能攻無不克，戰無不勝．