Question

（本小題滿分12分）如圖所示多面體中，⊥平面，為平行四邊形，分別為的中點，，，.

（1）求證：∥平面；

（2）若∠＝90°，求證;

（3）若∠＝120°，求該多面體的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）該五面體的體積為 。

【解析】（Ⅰ）取PC的中點為O，連FO，DO，可證FO∥ED，且FO=ED，所以四邊形EFOD是平行四邊形，從而可得EF∥DO，利用線面平行的判定，可得EF∥平面PDC；

（Ⅱ）先證明PD⊥平面ABCD，再證明BE⊥DP；

（Ⅲ）連接AC，由ABCD為平行四邊形可知△ABC與△ADC面積相等，所以三棱錐P-ADC與三棱錐P-ABC體積相等，即五面體的體積為三棱錐P-ADC體積的二倍．

（Ⅰ）取PC的中點為O，連FO,DO，∵F,O分別為BP，PC的中點，

∴∥BC，且,又ABCD為平行四邊形,∥BC，且,

∴∥ED，且

∴四邊形EFOD是平行四邊形          --------------------------------2分

即EF∥DO   又EF平面PDC   ∴EF∥平面PDC．     ---------------------- 4分

（Ⅱ）若∠CDP＝90°,則PD⊥DC，又AD⊥平面PDC  ∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD,           ------------- 6分

  ∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP              ------------ 8分

（Ⅲ）連結AC,由ABCD為平行四邊形可知與面積相等，

所以三棱錐與三棱錐體積相等，

即五面體的體積為三棱錐體積的二倍.

∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2，

由余弦定理并整理得,  解得DC=2   ------------------- 10分

∴三棱錐的體積

∴該五面體的體積為                         -------------------- 12分