Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式前三項中的x的系數成等差數列．
（1）求展開式中所有的x的有理項；
（2）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）由于展開式中的前三項系數為：

c

0 n

，

1

2

c

1 n

，

1

4

c

2 n

，這三數成等差數列⇒2×

1

2

c

1 n

=

c

0 n

+

1

4

c

2 n

，從而可求得n，再利用通項求有理項．
（2）令x的冪指數為整數，求得r的值，展開式中的有理項．
（3）設第k項的系數最大，則

Tk的系數≥Tk+1的系數 Tk的系數≥Tk-1的系數

，解得k的范圍，再結合通項公式以及k為整數，求得展開式中系數最大的項．

解答：解：解：（1）∵(

x

+

1

2• 4 x

)n展開式中的前三項系數為：

c

0 n

，

1

2

c

1 n

，

1

4

c

2 n

，
這三數成等差數列⇒2×

1

2

c

1 n

=

c

0 n

+

1

4

c

2 n

，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍去），∴n=8；
∵展開式的通項公式T_r+1=

C

r 8

•(x

1

2

)8-r•(

1

2

)r•(x-

1

4

)r=

C

r 8

•(

1

2

)r•x

16-3r

4

，
∴要使T_r+1項為有理項，則

16-3r

4

∈z，
∴r=0，4，8．
∴有理項為：T₁=x⁴，T₅=

C

4 8

•(

1

2

)4•x=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．
（2）設第k項的系數最大，則有

C k-1 8 •( 1 2 )k-1 ≥C k 8 •( 1 2 )k C k-1 8 •( 1 2 )k-1 ≥C k-2 8 •( 1 2 )k-2

，解得 3≤k≤4，
故系數最大的項為第三項T₃=7x

5

2

 和 第四項T₄=7x

7

4

．

點評：本題考查二項式定理的應用及等差數列的性質，考查組合數的計算公式，二項展開式的通項公式，關鍵是掌握二項展開式的通項公式．