Question

（本小題滿分12分）

已知點，過點作拋物線的切線，切點在第二象限，如圖．

（Ⅰ）求切點的縱坐標；

（Ⅱ）若離心率為的橢圓  恰好經過切點，設切線交橢圓的另一點為，記切線的斜率分別為，若，求橢圓方程．

21（本小題滿分12分）

已知函數 _.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：.

22．選修4－1：幾何證明選講

如圖，是圓的直徑，是弦，的平分線交圓于點，，交的延長線于點，交于點。

（1）求證：是圓的切線；

（2）若，求的值。

23.選修4—4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，直線過點且傾斜角為，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線與曲線相交于兩點；

（1）若，求直線的傾斜角的取值范圍；

（2）求弦最短時直線的參數方程。

24． 選修4-5 不等式選講

已知函數

   （I）試求的值域；

   （II）設，若對，恒有成立，試求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)設切點，且，

由切線的斜率為，得的方程為，又點在上，

，即點的縱坐標．

(Ⅱ)由(Ⅰ) 得，切線斜率，

設，切線方程為，由，得，所以橢圓方程為，且過，

由，

，

將，代入得：，所以，

橢圓方程為．

21、解：（1）的定義域為（0，+∞），

當時，＞0，故在（0，+∞）單調遞增；

當時，＜0，故在（0，+∞）單調遞減；

當-1＜＜0時，令=0，解得.

則當時，＞0；時，＜0.

故在單調遞增，在單調遞減

（2）因為，所以

當時，恒成立

令，則,            

因為，由得，

且當時，；當時，.

所以在上遞增，在上遞減.所以，故 

（3）由（2）知當時，有，當時，即，

令，則，即   

所以，，…，，

相加得

而

所以，

22．選修4－1：幾何證明選講

22.（1）連接，可得，

∴，又，∴，

又為半徑，∴是圓的切線

（2）過作于點，連接，

則有，

。

設，則，∴，

由可得，

又由，可得。

23.選修4—4：坐標系與參數方程

（1）∵曲線的極坐標方程為  

 ∴曲線的直角方程為

設圓心到直線的距離為    ∵    ∴

當直線斜率不存在時，，不成立

當直線斜率存在時，設    ∴  

 ∴————5分  ∴直線傾斜角的取值范圍是

（2）要使弦最短，只需，∴直線的傾斜角為，

∴直線的參數方程為（為參數）

24． 選修4-5 不等式選講

解：（I），。

（II）若，當且僅當時取得等號。再由（I）知的最大值為3.

     若對，恒有成立，即

，解之得，

故實數a的取值范圍是