Question

已知函數y=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）該函數的圖象可由y=sinx （x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析：（1）本小題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力．
（2）圖象變換過程中只有平移沒有伸縮，這樣就降低了本題的難度，同學們不會在平移的大小上出錯．

解答：解：（1）y=

3

sinx+cosx
=2（sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

）
=2sin（x+

π

6

），x∈R
y取得最大值必須且只需
x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即x=

π

3

+2kπ，k∈Z．
所以，當函數y取得最大值時，自變量x的集合為
{x|x=

π

3

+2kπ，k∈Z}．
（2）變換的步驟是：
①把函數y=sinx的圖象向左平移

π

6

，得到函數y=sin（x+

π

6

）的圖象；
②令所得到的圖象上各點橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數y=2sin（x+

π

6

）的圖象；
經過這樣的變換就得到函數y=

3

sinx+cosx的圖象．

點評：三角變換過程中最后結果應滿足下列要求：i函數種類應盡可能少；ii次數應盡可能低；iii項數盡可能少；iv盡可能不含分母；v盡可能去掉括號．若是研究三角函數的性質，最后結果一定是y=Asin（ωx+φ）的形式．