Question

如圖把函數f1(x)=x，f2(x)=x-

x3

6

，f3(x)=x-

x3

6

+

x5

120

，f4(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

，f5(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

+

x9

362880

，依次稱為f（x）=sinx在[0，π]上的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數．以此類推，請將f（x）=sinx的n項多項式逼近函數f_n（x）在橫線上補充完整：fn(x)=

2n-1

k=1

 （

sin(

kπ

2

)

xk

k!

） （n，k∈N₊）．

Answer 1

分析：由函數f（x）=sinx的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數，分析各項中符號，分子，分母的變化規律，歸納推理后可得f（x）=sinx的n項多項式逼近函數f_n（x）的解析式

解答：解：由函數f（x）=sinx的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數
f₁（x）=x
f2(x)=x-

x3

6

f3(x)=x-

x3

6

+

x5

120

f4(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

f5(x)=x-

x3

6

+

x5

120

-

x7

5040

+

x9

362880

，
…
可得函數的解析式中共有2n-1項，其中各項符號由sin(

kπ

2

)確定；
分子為x^k，分母為k!（k的階乘）
故可歸納推理為：fn(x)=

2n-1

k=1

 sin(

kπ

2

)

xk

k!

故答案為：sin(

kπ

2

)

xk

k!

（答案不唯一，也可為cos(

(k-1)π

2

)

xk

k!

，

(ik-1+(-i)k-1)

2

xk

k!

（i為虛數單位）等）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，其中根據函數f（x）=sinx的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數，分析各項中符號，分子，分母的變化規律是解答的關鍵．